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sexta-feira, agosto 14, 2015

FATORAÇÃO


Fatoração
O QUE SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar significa transformar em produto
FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS
Fatorar um polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de polinômios ou monômios e polinômios.
A propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1) FATOR COMUM
Vamos fatorar a expressão: ax + bx + cx
ax + bx + cx = x . (a + b + c)
O x é fator comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos fatorar as expressões
1) 3x + 3y = 3 (x + y)
2) 5x² - 10x = 5x ( x – 2)
3) 8ax³ - 4a²x² = 4ax²(2x – a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as expressões:


a) 4x + 4y = R: 4 ( x + y)
b) 7a – 7b = R: 7 (a - b)
c) 5x – 5 = R: 5 (x - 1)
d) ax – ay = R: a (x - y)
e) y² + 6y = R: y (y + 6)
f) 6x² - 4a = R: 2 (3x² - 2a)
g) 4x⁵ - 7x² = R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ = R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ = R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x = R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹ =
m) 8x⁶ - 12x³ =
n) 15x³ - 21x² =
o) 14x² + 42x =
p) x²y + xy² =


 
2) Fatore as expressões:
 


a) 2a – 2m + 2n = (R: 2 (a -m+n))
b) 5a + 20x + 10 = (R: 5(a + 4x + 2))
c) 4 – 8x – 16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))
d) 55m + 33n = (R: 11(5m + 3n))
e) 35ax – 42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax -7an =  (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x – 5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m-  2))
h) 2ax + 2ay – 2axy = (R: 2a(x + y -xy))


 
3) Fatore as expressões:
 
a) 15x⁷ - 3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ + x⁹ =
c) a⁵ + a³ - a² =
d) 6x³ -10x² + 4x⁴ =
e) 6x²y + 12xy – 9xyz =
f) a(x -3) + b(x -3) =
g) 9 ( m + n )- a( m –n)
 
 
2) AGRUPAMENTO
Vamos fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x +y)
Observe o que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidencia” .Nos dois últimos fomos “y em evidência”. Finalmente “ (a + b) em evidência”. Note que aplicamos duas vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
 
Exemplos:
Vamos fatorar as expressões:
1º exemplo
5ax + bx + 5ay + by
x.( 5a + b) + y (5a + b)
(x + y) (5a + b)
 
2º exemplo
x² + 3x + ax + 3a
x(x + 3) + a ( x + 3)
(x + 3) . ( x + a)
 
EXERCÍCIOS
 
1) Fatore as expressões:
 


a) 6x + 6y + ax + ay =
b) ax + ay + 7x + 7y=
c) 2a + 2n + ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a + bx + b =


 
2) Fatore as expressões:
 


a) m² + mx + mb + bx=
b) 3a² + 3 + ba² + b =
c) x³ + 3x² + 2x + 6 =
d) x³ + x² + x + 1 =
e) x³ - x² + x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x² + 4x – 20 =


 
 
 
3) DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS
Vimos que: (a+ b) (a –b) = a² + b²
Sendo assim: a² + b²= (a+ b) (a –b)
Para fatorar a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois termos.
 
1º exemplo
x² - 49 = (x + 7) ( x – 7)
2º exemplo
9a² - 4b² = (3a + 2b) (3a – 2b)
Exercícios
1) Fatore as expressões:


a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =


2) Fatore as expressões


a) 4x² - 25 =
b) 1 – 49a² =
c) 25 – 9a² =
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36 =
f) m² - 16n² =
g) 36a² - 4 =
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
 


 
4) TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
Vimos que:
(a +b)² = a² + 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a² - 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
 
Observe nos exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas. Os termos do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio.
EXERCÍCIOS
1) Coloque na forma fatorada as expressões:
 


a) x² + 4x + 4 = R:(x + 2)²
b) x² - 4x + 4 = R:(x -2)²
c) a²+ 2a + 1 = R: (a + 1)²
d) a² - 2a + 1 = R: (a – 1)²
e) x²- 8x + 16= R: ( x – 4)²
f) a² + 6a + 9 = R: (a + 3)²
g) a² - 6a + 9 = R: (a + 3)²
h) 1 – 6a + 9a² = R: (1 – 3a)²


 
 
 
 
2) Fatore as expressões
 


a) m² -12m + 36=

b) a² + 14a + 49 =

c) 4 + 12x + 9x² =

d) 9a² - 12a + 4 =

e) 9x² - 6xy + y² =

f) x² + 20x + 100 =

g) a² - 12ab + 36b² =

h) 9 + 24a + 16a² =

i) 64a² - 80a + 25 =

j) a⁴ - 22a² + 121

l) 36 + 12xy +x²y²

m) y⁴ - 2y³ + 1

PRODUTOS NOTÁVEIS

PRODUTOS NOTÁVEIS

Há certos produtos que ocorrem freqüentemente no calculo algébrico e que são chamados produtos notáveis. Vamos apresentar aqueles cujo emprego é mais frequente.

QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS
Observe: (a + b)² = ( a + b) . (a + b)
_______________= a² + ab+ ab + b²
_______________= a² + 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² + 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

Exemplos :

1) (5 + x)² = 5² + 2.5.x + x² = 25 + 10x + x²

2) (2x + 3y)² = (2x)² + 2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y²

Exercícios

1) Calcule

a) (3 + x)² = ( R: 9 + 6x +x²)b) (x + 5)² = ( R: x² + 10x + 25)
c) ( x + y)² = ( R: x² + 2xy +y²)
d) (x + 2)² = ( R: x² + 4x + 4)
e) ( 3x + 2)² = ( R: 9x² + 12x +4)
f) (2x + 1)² = (R: 4x² + 4x + 1)
g) ( 5+ 3x)² = (R: 25 + 30x + 9x²)
h) (2x + y)² = (R: 4x² + 4xy + y²)
i) (r + 4s)² = (R: r² + 8rs + 16s²)j) ( 10x + y)² = (R: 100x² + 20xy + y²)l) (3y + 3x)² = (R: 9y² + 18xy + 9x²)m) (-5 + n)² = (R: 25 -10n + n²)
n) (-3x + 5)² = (R: 9x² - 30x + 25)
o) (a + ab)² = (R: a² + 2a²b + a²b²)
p) (2x + xy)² = (R: 4x² + 4x²y + x²y²)
q) (a² + 1)² = (R: (a²)² + 2a² + 1)r) (y³ + 3)² = [R: (y³)² + 6y³ + 9]s) (a² + b²)² = [R: (a²)² + 2a²b² + (b²)²]
t) ( x + 2y³)² = [R: x² + 4xy³ + 4(y³)²]
u) ( x + ½)² = (R: x² +x + 1/4)
v) ( 2x + ½)² = (R: 4x² + 2x + 1/4)x) ( x/2 +y/2)² = [R: x²/4 + 2xy/4 + y²/4]






QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
Observe: (a - b)² = ( a - b) . (a - b)
______________= a² - ab- ab + b²
______________= a² - 2ab + b²

Conclusão:
(primeiro termo)² - 2.(primeiro termo) . (segundo termo) + (segundo termo)²

1) ( 3 – X)² = 3² + 2.3.X + X² = 9– 6x + x²

2) (2x -3y)² = (2x)² -2.(2x).(3y) + (3y)² = 4x² - 12xy+ 9y²


Exercícios

1) Calcule

a) ( 5 – x)² = (R: 25 – 10x + x²)b) (y – 3)² = (R: y² - 6y + 9)c) (x – y)² = (R: x² - 2xy + y²)
d) ( x – 7)² = (R: x² - 14x + 49)e) (2x – 5) ² = (R: 4x² - 20 x + 25)f) (6y – 4)² = (R: 36y² - 48y + 16)
g) (3x – 2y)² = (R: 9x² - 12xy + 4y²)h) (2x – b)² = (R: 4x² - 4xb + b²)
i) (5x² - 1)² = [R: 25(x²)² - 10x² + 1)
j) (x² - 1)² =  (R: x⁴ - 2x² + 1)                       
l) (9x² - 1)² = (R:  81x⁴- 18x² + 1)
m) (x³ - 2)² = (R:  x⁶ - 4x³ + 4)
n) (2m⁵ - 3)² = ( R:
o) (x – 5y³)² =
p) (1 - mx)² =
q) (2 - x⁵)² =
r) (-3x – 5)² =
s) (x³ - m³)² =






PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
(a + b). (a – b) = a² - ab + ab - b² = a²- b²

conclusão:
(primeiro termo)² - (segundo termo)²

Exemplos :

1) ( x + 5 ) . (x – 5) = x² - 5² = x² - 25
2) (3x + 7y) . (3x – 7y) = (3x)² - (7y)² = 9x² - 49y²


EXERCÍCIOS

1) Calcule o produto da soma pela diferença de dois termos:

a) (x + y) . ( x - y) = (R : x² - y²)b) (y – 7 ) . (y + 7) = ( R : y² - 49)
c) (x + 3) . (x – 3) = ( R: x² - 9)
d) (2x + 5 ) . (2x – 5) = ( R: 4x² - 25)
e) (3x – 2 ) . ( 3x + 2) = ( R: 9x² - 4 )
f) (5x + 4 ) . (5x – 4) = ( R: 25x² - 16)g) (3x + y ) (3x – y) = (R: 9x² - y² )h) ( 1 – 5x) . (1 + 5x) = ( R: 1 - 25x² )i) (2x + 3y) . (2x – 3y) = ( R: 4x² - 9y² )j) (7 – 6x) . ( 7 + 6x) = (R: 49 - 36x²)
l) (1 + 7x²) . ( 1 – 7x²) = (R: 1 - 49x⁴)
m) (3x² - 4 ) ( 3x² + 4) = ( R: 9x² - 16)
n) (3x² - y²) . ( 3x² + y²) = (R: 9x⁴ - y⁴)
o) (x + 1/2 ) . ( x – 1/2 ) =
p)(x – 2/3) . ( x + 2/3) =
q)( x/4 + 2/3) . ( x/4 – 2/3) =






CUBO DA SOMA OU DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
.
Exemplo

a) (a + b)³ = (a + b) . (a + b)²
------------=(a + b) . (a² + 2ab + b²)
-------------= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
-------------= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

b) (a – b)³ = (a - b) . (a – b)²
-------------= ( a – b) . ( a² - 2ab + b²)
------------ = a³ - 2a²b + ab² - a²b + 2ab² - b³
------------ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

c) ( x + 5 )³ = x³ + 3x²5 + 3x5² + 5 ³
-------------- = x³ + 15x² + 75x +125

d) (2x – y )³ = (2x)³ - 3(2x)²y + 3(2x)y² - y³
--------------- = 8x³ - 3(4x²)y + 6xy² - y³
--------------- = 8x³ - 12x²y + 6xy² - y³


EXERCICIOS

1) Desenvolva

a) ( x + y)³ = (R: x³ + 3x²y + 3xy² + y³)
b) (x – y)³ = (R: x³ - 3x²y + 3xy² - y³)
c) (m + 3)³ = ( R: m³ + 9m² + 27m +27)
d) (a – 1 )³ = (R: a³ - 3a² + 3a -1)
e) ( 5 – x)³ = (R: 125 - 75x + 15x² -x³)f) (-a - b)³
g) (x + 2y)³
h) ( 2x – y )³
i) (1 + 2y)³
j) ( x – 2x)³
k) ( 1 – pq)³
l) (x – 1)³
m) ( x + 2 )³
n) ( 2x – 1)³
o) ( 2x + 5 )³
p) (3x – 2 )³

domingo, maio 18, 2014

Exercícios de revisão de Equações e Inequações.

Exercícios de revisão de Equações e Inequações.

Exercícios de revisão de ângulos e triângulos com respostas.

Exercícios de revisão de ângulos e triângulos com respostas.

Critérios de Congruência de Triângulos

Critérios de congruência

Critérios de congruência
Se tratando dos critérios de congruência, podemos dizer que esses critérios nos ajudam a ver que dois triângulos são congruentes, começando pela congruência de três elementos que sejam convenientes.
Existem quatro critérios de congruência de triângulos, vejamos cada um dele:

• 1° Critério: LLL
Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes.
Vejamos:


• 2° Critério: LAL
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente congruentes.
Vejamos:


• 3° Critério: ALA
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente congruentes.
Vejamos:


• 4° Critérios: LAAo
Dois ângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse mesmo lado, sendo assim respectivamente congruentes.
Vejamos:

Observações

a) LLA não garante congruência

b) Caso dois triângulos retângulos tenham um dos catetos e a hipotenusa congruentes, logo eles são considerados congruentes.

terça-feira, maio 06, 2014

Ângulos formados por duas retas paralelas com um transversal

Ângulos formados por duas retas paralelas com um transversal
Lembre-se:
Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum.
Vamos observar a figura abaixo:
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado)

A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°.

A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180°.
Ângulos colaterais externos:


A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180°.


A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180°.
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes)


Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais)


Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais)
Ângulos alternos externos:


Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais)


Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais)
Ângulos correspondentes:
São ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na região interna e o outro na região externa.


Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais)


os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais)


os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais)


os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais)
Exercícios Resolvidos
1. Determine o valor de x nas figuras abaixo:
x = 40°
São ângulos correspondentes.


x + 20° = 180°
x = 180° - 20°
x = 160°
O ângulo x é igual ao ângulo que se forma abaixo do ãngulo de 20°, logo a soma dos dois é igual a 180°.
2. Determine m, n e r na figura abaixo:

m = 84° São ângulos opostos pelo vértice.
r = 84° São ângulos correspondentes.
r + n = 180° São ângulos suplementares a soma é igual a 180°
84° + n = 180° (substituimos r por 84°)
n = 180° - 84°
n = 96°
3. Sendo m // n, determine o valor de a em graus na figura seguinte: ( // Paralelas)
Os ângulos são concorrentes, logo são ângulos iguais.
3b - 11° = 2b + 6°
3b - 2b = 6° + 11°
b = 17°
Os ângulos são suplementares, logo a soma entre eles é igual a 180°.
a + (2b + 6°) = 180°
a + 2b + 6° = 180°
a + 2(17°) + 6° = 180°(substituimos b por 17°)
a + 34° + 6° = 180°
a + 40° = 180°
a = 180° - 40°
a = 140°