Fatoração
O QUE
SIGNIFICA FATORAR?
Fatorar
significa transformar em produto
FATORAÇÃO DE
POLINÔMIOS
Fatorar um
polinômio significa transformar esse polinômio num produto indicado de
polinômios ou monômios e polinômios.
A
propriedade distributiva será muito usada sob a denominação de colocar em
evidencia. Vejamos a seguir alguns casos de fatoração.
1) FATOR
COMUM
Vamos
fatorar a expressão: ax + bx + cx
ax + bx + cx
= x . (a + b + c)
O x é fator
comum e foi colocado em evidência.
Exemplos
Vamos
fatorar as expressões
1) 3x + 3y =
3 (x + y)
2) 5x² - 10x
= 5x ( x – 2)
3) 8ax³ -
4a²x² = 4ax²(2x – a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as
expressões:
a) 4x + 4y =
R: 4 ( x + y)
b) 7a – 7b =
R: 7 (a - b)
c) 5x – 5 =
R: 5 (x - 1)
d) ax – ay =
R: a (x - y)
e) y² + 6y =
R: y (y + 6)
f) 6x² - 4a
= R: 2 (3x² - 2a)
g) 4x⁵ - 7x²
= R: x² ( 4x³ - 7)
h) m⁷ - m³ =
R : m³( m⁴- 1)
i) a³ + a⁶ =
R: a³ ( 1 + a³)
j) x² + 13x
= R: x(x + 13)k) 5m³ - m² =
l) x⁵⁰ + x⁵¹
=
m) 8x⁶ -
12x³ =
n) 15x³ -
21x² =
o) 14x² +
42x =
p) x²y + xy²
=
2) Fatore as
expressões:
a) 2a – 2m +
2n = (R: 2 (a -m+n))
b) 5a + 20x
+ 10 = (R: 5(a + 4x + 2))
c) 4 – 8x –
16y = (R: 4(1 - 2x - 4y))
d) 55m + 33n
= (R: 11(5m + 3n))
e) 35ax –
42ay = (R: 7a(5x -6y)
f) 7am – 7ax
-7an = (R: 7a(m - x - n))
g) 5a²x –
5a²m – 10a² = (R: 5a² ( x -m- 2))
h) 2ax + 2ay
– 2axy = (R: 2a(x + y -xy))
3) Fatore as
expressões:
a) 15x⁷ -
3ax⁴ =
b) x⁷ + x⁸ +
x⁹ =
c) a⁵ + a³ -
a² =
d) 6x³ -10x²
+ 4x⁴ =
e) 6x²y +
12xy – 9xyz =
f) a(x -3) +
b(x -3) =
g) 9 ( m + n
)- a( m –n)
2)
AGRUPAMENTO
Vamos
fatorar a expressão ax + bx + ay + by
ax + bx + ay + by
x( a + b) + y ( a+ b)
(a + b) .( x
+y)
Observe o
que foi feito:
Nos dois primeiros temos “x em evidencia” .Nos dois últimos fomos “y
em evidência”. Finalmente “ (a + b) em evidência”. Note que aplicamos duas
vezes a fatoração utilizando o processo do fator comum
Exemplos:
Vamos
fatorar as expressões:
1º exemplo
5ax + bx +
5ay + by
x.( 5a + b)
+ y (5a + b)
(x + y) (5a
+ b)
2º exemplo
x² + 3x + ax
+ 3a
x(x + 3) + a
( x + 3)
(x + 3) . (
x + a)
EXERCÍCIOS
1) Fatore as
expressões:
a) 6x + 6y +
ax + ay =
b) ax + ay +
7x + 7y=
c) 2a + 2n +
ax +nx=
d) ax + 5bx + ay + 5by =
e) 3a – 3b + ax – bx =
f) 7ax – 7a + bx – b =
g) 2x – 2 + yx – y =
h) ax + a +
bx + b =
2) Fatore as
expressões:
a) m² + mx +
mb + bx=
b) 3a² + 3 +
ba² + b =
c) x³ + 3x²
+ 2x + 6 =
d) x³ + x² +
x + 1 =
e) x³ - x² +
x – 1 =
f) x³ + 2x² + xy + 2y =
g) x² + 2x + 5x + 10 =
h) x³ - 5x²
+ 4x – 20 =
3) DIFERENÇA
DE DOIS QUADRADOS
Vimos que: (a+
b) (a –b) = a² + b²
Sendo assim:
a² + b²= (a+ b) (a –b)
Para fatorar
a diferença de dois quadrados, basta determinar as raízes quadradas dos dois
termos.
1º exemplo
x² - 49 = (x
+ 7) ( x – 7)
2º exemplo
9a² - 4b² = (3a
+ 2b) (3a – 2b)
Exercícios
1) Fatore as
expressões:
a) a² - 25 =
b) x² - 1 =
c) a² - 4 =
d) 9 - x² =
e) x² - a² =
f) 1 - y² =
g) m² - n² =
h) a² - 64 =
2) Fatore as
expressões
a) 4x² - 25
=
b) 1 – 49a²
=
c) 25 – 9a²
=
d) 9x² - 1 =
e) 4a² - 36
=
f) m² - 16n²
=
g) 36a² - 4
=
h) 81 - x² =
i) 4x² - y²=
j) 16x⁴ - 9 =
k) 36x² - 4y² =
l) 16a² - 9x²y² =
m) 25x⁴ - y⁶ =
n) x⁴ - y⁴ =
4) TRINÔMIO
QUADRADO PERFEITO
Vimos que:
(a +b)² = a²
+ 2ab + b² Logo a² + 2ab + b² = (a +b)²
(a -b)² = a²
- 2ab + b² Logo a² - 2ab + b² = (a -b)²
Observe nos
exemplos a seguir que:
Os termos extremos fornecem raízes quadras exatas. Os termos do meio
deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do
meio.
EXERCÍCIOS
1) Coloque
na forma fatorada as expressões:
a) x² + 4x +
4 = R:(x + 2)²
b) x² - 4x +
4 = R:(x -2)²
c) a²+ 2a +
1 = R: (a + 1)²
d) a² - 2a +
1 = R: (a – 1)²
e) x²- 8x +
16= R: ( x – 4)²
f) a² + 6a +
9 = R: (a + 3)²
g) a² - 6a +
9 = R: (a + 3)²
h) 1 – 6a +
9a² = R: (1 – 3a)²
2) Fatore as
expressões
a) m² -12m +
36=
b) a² + 14a
+ 49 =
c) 4 + 12x +
9x² =
d) 9a² - 12a
+ 4 =
e) 9x² - 6xy
+ y² =
f) x² + 20x
+ 100 =
g) a² - 12ab
+ 36b² =
h) 9 + 24a +
16a² =
i) 64a² -
80a + 25 =
j) a⁴ - 22a²
+ 121
l) 36 + 12xy
+x²y²
m) y⁴ - 2y³
+ 1